图为数学系博士生张红莲
量子群是目前现代数学的中心研 究领域之一，由 Dri nfel ’d 和 Ji mbo 于 1985 年在研究量子力学的二维可解模 型时独立引入。量子群作为一种基本 的代数结构，被证明与数学及数学物 理的许多重要分支都密切相关。研究 发现，双参数量子群和单参数量子群 之间存在显著差别。随着有限型双参 数量子群的结构和表示论的日益完 善，如何建立仿射型双参数量子群的 结构和顶点表示论，是国际数学界共 同关注的问题。
我校数学系04 级博士生张红莲在 其导师胡乃红的指导下，在国际同行 中首次对仿射型非扭系列 Kac- Moody 代数对应的双参数量子代数理论进行 系统的构建，解决了双参数形式下的 “ Dri nfel ’d 猜想”，完成了 Dri nfeld 同 构定理的证明，从而为这套新建立的 量子群代数对象提供了与单参数量子 仿射代数的顶点表示论相对应的水平 1 的顶点表示论。由于理论的系统性和 新颖性，以及构建这套理论的巨大难 度，张红莲的博士论文《双参数量子仿 射代数的 Dri nfel ’d 实现、量子仿射 Lyndon 基及其顶点表示》入选全国优 秀博士学位论文提名奖。
非数学专业人士对“顶点表示” “ Dri nfel ’d 实现”等名词肯定感到陌 生。张红莲解释道：“ Dri nfel ’d 是量子 群理论的开创者之一、国际著名数学 家、菲尔兹奖获得者，他提出的量子代 数的loop 实现形式，即单参数情形下 的‘ Dri nfel ’d 猜想’，多年后才被他人 严格证明。”她还说，建立这套双参数 量子仿射代数理论的过程中，有一个 非常关键的问题，就是单参数实际上 是作为双参数的退化情形而出现的， 因此要完全“恢复”双参数时应有的 原貌是一个艰难的过程。
在博士论文中，张红莲系统研究 了所有非扭系列的双参数量子仿射代 数的结构及 Dri nfel ’d double 的性质, 得到了双参数情形下的 Dri nfel ’d 实 现。并且,完全利用 Lyndon 词的组合方 法,得到了所有非扭系列的双参数量子 仿射代数的一组量子仿射 Lyndon 基, 同时给出并详细证明了双参数量子仿 射代数的 Dri nfel ’d 实现的同构定理。 最后还构造了所有非扭系列的双参数 量子仿射代数的水平1 的顶点表示。
张红莲说，这篇博士论文是在研 究 A 型量子仿射代数的基础上，由导 师胡乃红教授、法国著名量子群专家 Rosso 教授和自己合作完成的。同行专 家对该结果有很高的评价，这篇论文 已经发表在国际顶级数学综合类杂志 Comm . Math. Phys.上。
其博士论文的评审委员们在评语 中这样写道：“（张红莲的）整个研究 过程相当曲折、艰辛，整个论证过程也 极富匠心和技巧。值得一提的是，论文 中还明确构造了量子仿射 Lyndon 基的 结果，这也是目前量子仿射代数研究 文献中最好的一组基。所得到的结果 富有创新，具有较高的理论价值，是对 双参数量子仿射代数理论的重要贡 献。”
这些工作系统地建立了双参数量 子仿射代数的结构和它的顶点表示 理论，同时这也是建立双参数量子仿 射代数理论的关键性、基础性的工 作。这些结果丰富了双参数量子仿射 代数理论的内容，使得双参数量子仿 射代数的结构和表示理论日趋完善 和成熟，同时也能促进量子群相关问 题的研究，具有重要的研究意义和研 究前景。 （学生记者：王丹、张亚飞）